ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55518
Темы:    [ Признаки и свойства касательной ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Савин А.П.

Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности.
Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями, (см. рис.) равны.


Подсказка

Выразите каждую из указанных хорд через радиусы окружностей и расстояние между их центрами.


Решение

  Пусть O1 и O2 – центры окружностей; r и R – их радиусы, AB и CD – указанные хорды; M и N – их точки пересечения с отрезком O1O2; O2P – касательная к первой окружности (P – точка касания). Ясно, что M и N – середины этих хорд.
  Из подобия прямоугольных треугольников O2ND и O2PO1 находим, что  DC = 2DN = 2O1P·O2D/O1O2 = 2rR/O1O2.  Аналогично  AB = 2rR/O1O2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4841

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .