ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55468
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Веселов Л.

Окружности S1 и S2 касаются окружности S внутренним образом в точках A и B, причём одна из точек пересечения окружностей S1 и S2 лежит на отрезке AB. Докажите, что сумма радиусов окружностей S1 и S2 равна радиусу окружности S. Верно ли обратное?


Подсказка

Пусть O, O1 и O2 — центры окружностей S, S1 и S2 соответственно, а M — точка пересечения окружностей S1 и S2, лежащая на отрезке AB. Тогда OO1MO2 — параллелограмм.


Решение

Пусть O, O1 и O2 — центры окружностей S, S1 и S2 соответственно, R, R1 и R2 — их радиусы, M — точка пересечения окружностей S1 и S2, лежащая на отрезке AB.

Равнобедренные треугольники AOB, AO1M и MO2B имеют один и тот же угол при основании. Поэтому O1M || OB и O2M || OA. Следовательно, четырёхугольник OO1MO2 — параллелограмм. Тогда

R1 + R2 = O1M + O2M = OO2 + O2B = OB = R.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4790

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .