ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55350
Темы:    [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ]
[ Теорема косинусов ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите высоту трапеции, у которой основания равны a и b (a < b), угол между диагоналями равен 90o, а угол между продолжениями боковых сторон равен 45o.


Подсказка

Через одну из вершин меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную боковой стороне, и примените теорему косинусов.


Решение

Пусть BC и AD — основания данной трапеции ABCD, BC = a, AD = b. Обозначим боковые стороны трапеции AB = x, CD = y, а высоту — h.

Через вершину B проведём прямую, параллельную боковой стороне CD, до пересечения с основанием AD в точке K. Удвоенная площадь треугольника ABC равна

xy sin 45o = (b - a)h.

По теореме косинусов из этого треугольника находим, что

(b - a)2 = x2 + y2 - 2xy cos 45o.

Пусть M — точка пересечения диагоналей трапеции. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников AMB, BMC, CMD и AMD находим, что

x2 + y2 = (AM2 + BM2) + (CM2 + DM2) =

= (AM2 + DM2) + (BM2 + CM2) = a2 + b2.

Таким образом, имеем уравнение

(a - b)2 = a2 + b2 - 2(b - a)h,

из которого находим, что h = $ {\frac{ab}{b-a}}$.


Ответ

$ {\frac{ab}{b-a}}$.

Замечания

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4097
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 12
Название Вычисления и метрические соотношения
Тема Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер 9
Название Разные задачи
Тема Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)
задача
Номер 12.069
журнал
Название "Квант"
год
Год 1973
выпуск
Номер 1
Задача
Номер М183

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .