ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55300
Темы:    [ Удвоение медианы ]
[ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что отношение суммы квадратов медиан треугольника к сумме квадратов его сторон равно $ {\frac{3}{4}}$.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Квадрат медианы треугольника, проведённой к стороне a, равен $ {\frac{1}{4}}$(2b2 + 2c2 - a2), где a, b и c — стороны треугольника.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть стороны треугольника равны a, b и c. Если m — медиана, проведённая к стороне a, то

m2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(2b2 + 2c2 - a2).

Это можно доказать, применив теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (предварительно достроив соответствующим образом треугольник до параллелограмма). Аналогично для квадратов остальных двух медиан. Сложив три полученных равенства, получим требуемый результат.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4047

© 2004-2013 МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .