ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55246
Темы:    [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]
[ Площадь круга, сектора и сегмента ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка M лежит на стороне AC остроугольного треугольника ABC. Вокруг треугольников ABM и CBM описываются окружности. При каком положении точки M площадь общей части ограниченных ими кругов будет наименьшей?


Подсказка

Углы, под которыми отрезок BM виден из центров окружностей, имеют постоянную величину.


Решение

Пусть O и O1 — центры описанных окружностей треугольников ABM и CBM. Общей частью указанных кругов является объединение двух сегментов с общей хордой BM.

Поскольку

$\displaystyle \angle$BOM = 2$\displaystyle \angle$BAC$\displaystyle \angle$BO1M = 2$\displaystyle \angle$BCA,

то величины углов BOM и BO1M постоянны. Поэтому площадь каждого из сегментов тем меньше, чем меньше хорда BM. Следовательно, площадь общей части кругов минимальна, когда BM — высота треугольника ABC.


Ответ

Точка M — основание высоты треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3600

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .