ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55240
Темы:    [ Неравенства с углами ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны прямая l и две точки P и Q, лежащие по одну сторону от неё. Найдите на прямой l такую точку M, для которой расстояние между основаниями высот треугольника PQM, опущенных на стороны PM и QM, наименьшее.


Подсказка

Если окружность с диаметром PQ не имеет общих точек с прямой l, то задача сводится к построению окружности, проходящей через точки P и Q и касающейся прямой l.


Решение

  Пусть PK и QH – высоты треугольника PQM. Тогда точки K и H лежат на окружности с диаметром PQ. Если эта окружность имеет с прямой l общие точки, то каждая из этих точек является искомой точкой M, поскольку в этом случае расстояние между основаниями указанных высот равно 0: точки K и H совпадают с M.
  Предположим, что указанная окружность не имеет общих точек с прямой l. Поскольку точка M в этом случае лежит вне окружности, то угол PMQ – острый. Треугольники KMH и PMQ подобны с коэффициентом cos∠PMQ. Поэтому   KH = PQ cos∠PMQ.  Следовательно, отрезок KH – наименьший, если угол PMQ – наибольший.
  Таким образом, задача сводится к построению на прямой l такой точки M, для которой угол PMQ – наибольший. Рассмотрим меньшую из двух окружностей, проходящих через точки P и Q и касающихся прямой l (построение таких окружностей описано в задаче 57251). Тогда точка касания есть искомая точка M.
  Действительно, если M1 – произвольная точка прямой l, отличная от M, а D – точка пересечения отрезка PM1 с построенной окружностью, то
PM1Q < ∠PDQ = ∠PMQ.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3594
журнал
Название "Квант"
год
Год 1971
выпуск
Номер 1
Задача
Номер М64

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .