ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55155
Темы:    [ Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны ]
[ Неравенство треугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что расстояние между любыми двумя точками, взятыми на сторонах треугольника, не больше наибольшей из его сторон.


Подсказка

Докажите сначала, что отрезок AM, соединяющий вершину A треугольника ABC с точкой M, принадлежащей стороне BC, меньше большей из сторон AB и AC.


Решение

Сначала докажем, что отрезок AM, соединяющий вершину треугольника ABC, с точкой M, принадлежащей стороне BC, меньше большей из сторон AB и AC. Действительно, один из углов AMC и AMB — прямой или тупой. Тогда либо AM < AC, либо AM < AB. Отсюда следует требуемое утверждение.

Пусть теперь N — точка на стороне AC. Тогда MN меньше наибольшего из отрезков AM и MC. Кроме того, MC < BC, а AM меньше наибольшего из отрезков AB и AC. Следовательно, MN меньше наибольшей из сторон треугольника ABC.

Из доказанного утверждения следует, что диаметр треугольника (наибольшее из расстояний между точками, принадлежащими треугольнику) равен его наибольшей стороне.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3509

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .