Задача 55145

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что:
  a) против большей стороны треугольника лежит больший угол;
  б) против большего угла треугольника лежит большая сторона.

Решение

а) Пусть в треугольнике ABC сторона BC больше стороны AC. На стороне BC отложим отрезок CA₁, равный AC. Поскольку  CA₁ = AC < BC,  то точка A₁ лежит на отрезке BC. Поэтому луч AA₁ проходит между сторонами угла A. Следовательно,   ∠A > ∠CAA₁ = ∠CA₁A > ∠B  (CA₁A – внешний угол треугольника AA₁B).

б) Пусть теперь  ∠A > ∠B.  Если сторона BC меньше стороны AC, то получаем противоречие с ранее доказанным. Если же  BC = AC,  то треугольник ABC равнобедренный и  ∠A = ∠B,  что противоречит условию. Следовательно,  BC > AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3499