ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55144
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Отрезки AK, BM, CN и DL делят квадрат ABCD со стороной 1 на четыре треугольника с площадями s1, s2, s3, s4 и пять четырёхугольников (см. рисунок). Площадь центрального четырёхугольника равна s0, причём s0 = s1 + s2 + s3 + s4. Докажите равенство:

AL + BK + CM + DN = 2.


Подсказка

Докажите, что

S$\scriptstyle \Delta$ABK + S$\scriptstyle \Delta$BCM + S$\scriptstyle \Delta$CDN + S$\scriptstyle \Delta$DAL = SABCD.


Решение

Поскольку

s0 = SABCD - S$\scriptstyle \Delta$ABK - S$\scriptstyle \Delta$BCM - S$\scriptstyle \Delta$CDN - S$\scriptstyle \Delta$DAL +

+ s1 + s2 + s3 + s4s0 = s1 + s2 + s3 + s4,

то

S$\scriptstyle \Delta$ABK + S$\scriptstyle \Delta$BCM + S$\scriptstyle \Delta$CDN + S$\scriptstyle \Delta$DAL = SABCD,

или

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BK . AB + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$CM . BC + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$DN . CD + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AL . AD = AB . BC,

а т.к. AB = BC = CD = AD = 1, то

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(BK + CM + DN + AL) = 1, или BK + CM + DN + AL = 2.

Это утверждение верно для любого ромба.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3219

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .