Задача 55131

Темы:    [ Параллелограммы (прочее) ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Саллинен Е.В.

На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.

Решение

  Пусть точки M, N, K, L лежат на сторонах соответственно AB, BC, CD и AD параллелограмма ABCD (рис. слева) и  S_MNKL = ½ S_ABCD.

  Способ 1. Обозначим  AM = x , AL = y,  BN = z,  DK = t,  AB = CD = a,  AD = BC = b.
  Тогда  ½ S_ABCD = S_AML + S_BMN + S_CNK + S_DKL = ^x/_a·^y/_b S_ABD + ^a–x/_a·^z/_b S_ABC + ^a–t/_a·^b–z/_b S_BCD + ^t/_a·^b–y/_b S_ACD = .
  Поэтому  xy + (a – x)z + (a – t)(b – z) + t(b – y) = ab,  или  xy – xz + zt – ty = 0,  или  (y – z)(x – t) = 0.  Отсюда  x = t или y = z.
  В первом случае  MK || AD,  во втором –   LN || AB.

  Способ 2. (А. Эстеров) Предположим, что LN и AB не параллельны. Проведём через точку L прямую, параллельную AB, до пересечения со стороной BC в точке N₁ (рис. справа). Тогда
S_MN1KL = S_MN1L + S_N1KL = ½ (S_ABN1L + S_LN1CD) = = ½ S_ABCD = S_MNKL.
  Поскольку треугольник MLK – общая часть четырёхугольников MNLK и MN₁LK, то  S_MN1K = S_MNK,  а так как треугольники MN₁K и MNK имеют общую сторону MK, то их высоты, проведённые из точек N₁ и N, равны. Следовательно,  MK || BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3206
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	36
Год	1973
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	1
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	36
Год	1973
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	2
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1973
выпуск
Номер	10
Задача
Номер	М227