ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53943
Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через данную точку окружности проведите хорду, которая бы делилась данной хордой пополам.


Решение

Первый способ.

Пусть M — данная точка окружности с центром O, AB — данная хорда. Если AB — диаметр, то искомая хорда — также диаметр. Если AB -- хорда, не являющаяся диаметром, MN — искомая хорда, а K — её середина, то OK $ \perp$ MN, т.е. радиус OM виден из точки K под прямым углом. Значит, середина искомой хорды MN лежит на окружности с диаметром OM.

Если окружность с диаметром OM имеет две общих точки с данной окружностью, то задача имеет два решения, если одну общую точку — одно решение, если ни одной общей точки — решений нет.

Второй способ.

Пусть M — данная точка окружности с центром O, AB — данная хорда. При гомотетии с центром M и коэффициентом $ {\frac{1}{2}}$ данная окружность перейдёт в окружность с диаметром OM. Если K — точка пересечения этой окружности с данным отрезком AB, то K — образ некоторой точки N данной окружности. Поэтому MK = $ {\frac{1}{2}}$MN, т.е. K — середина MN.

Если окружность с диаметром OM имеет две общих точки с данной окружностью, то задача имеет два решения, если одну общую точку — одно решение, если ни одной общей точки — решений нет.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1707

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .