Задача 53891

Тема:    [ Подобные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Ягубьянц А.

Три отрезка с концами на сторонах треугольника, параллельные его сторонам, проходят через одну точку и имеют одинаковую длину x.
Найдите x, если стороны треугольника равны a, b, c.

Подсказка

Рассмотрите подобные треугольники.

Решение

  Обозначим вершины всех треугольников, как показано на рисунке. По условию  ML = EN = KF = x.  Пусть  AB = c,  AC = b,  BC = a.  Поскольку
LK = AB – BL – AK = AB – EP – NP = AB – EN = c – x,  то коэффициент подобия треугольников LPK и BCA равен  ^c–x/_c.  Аналогично находим, что коэффициент подобия треугольников EFP и BCA равен  ^a–x/_a.  Поэтому  AN = PK = AC·^c–x/_c = ^b(c–x)/_c,  CM = PF = AC·^a–x/_a = ^b(a–x)/_a.
  Следовательно,  b = AC = CM + MN + NA = ^b(a–x)/_a + b – x + ^b(c–x)/_c.
  Из полученного уравнения находим, что  x = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1656