ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52792
Темы:    [ Биссектриса делит дугу пополам ]
[ Теорема косинусов ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC  BC = 4,  AB = 2 .   Известно, что центр окружности, проходящей через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла C. Найдите AC.


Решение

  Пусть A1, B1 и C1 – середины BC, AC и AB соответственно, O – центр данной окружности.
  Поскольку треугольники A1B1C1 и B1A1C равны, то радиусы данной окружности ω и описанной окружности ω1 треугольника A1B1C равны.
  Пусть прямая OC пересекает ω1 в точке M. Тогда  MA1 = MB1  и  OA1 = OB1.  Поэтому если точки O и M не совпадают, то  OCA1B1,  а так как CO – биссектриса угла C, то  CA1 = CB1  и  AC = BC = 4,  AC + BC = 4 + 4 = 8 < AB,  что невозможно. Значит, точки M и O совпадают, то есть центр ω лежит на ω1. Поэтому  ∠A1OB1 + ∠A1CB1 = 180°,  то есть   2∠C + ∠C = 180°,  ∠C = 60°.
 По теореме косинусов  AC² + 16 – 4AC = 76, откуда AC = 10.


Ответ

10.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 457

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .