ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35728
Темы:    [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
[ Уравнение плоскости ]
[ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в пространстве найдётся гладкая кривая, которая пересекается с каждой плоскостью.


Подсказка

График многочлена нечётной степени на плоскости пересекается с любой прямой. Ищите нужную кривую в параметрическом виде.


Решение

Зададим кривую в параметрической форме:  x = t,  y = t³,  z = t5,  где t пробегает все действительные числа. Пусть  Ax + By + Cz + D = 0  – уравнение некоторой плоскости (здесь не все числа A, B, C одновременно равны нулю). Точка кривой, отвечающая параметру t, лежит в этой плоскости тогда и только тогда, когда
At + Bt3 + Ct5 + D = 0.  Мы имеем уравнение пятой, третьей или первой степени относительно t (в зависимости от равенства нулю коэффициентов). Многочлен нечётной степени всегда имеет корень. Поэтому хотя бы одна точка пересечения кривой с плоскостью существует.

Замечания

Ср. с задачей 79560.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .