Задача 35634

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

От треугольника отрезали три треугольника, причём каждый из трёх разрезов коснулся вписанной в треугольник окружности. Известно, что периметры отрезанных треугольников равны P₁, P₂, P₃. Найдите периметр исходного треугольника.

Решение

Покрасим одним цветом отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки – всего получилось шесть пар равных отрезков касательных. В описанном шестиугольнике, образовавшемся после отрезания треугольников, три стороны, по которым сделаны разрезы, составлены из шести отрезков разных цветов. Оставшиеся три стороны также составлены из шести отрезков разных цветов. Следовательно, сумма длин трёх разрезов равна сумме трёх участков периметра исходного треугольника, не принадлежащих отрезанным треугольникам. Отсюда нетрудно увидеть, что периметр исходного треугольника равен сумме периметров отрезаемых треугольников.

Ответ

P₁ + P₂ + P₃.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача