Задача 35298

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 3- Классы: 9,10

Условие

Найти все целые натуральные решения уравнения  (n + 2)! – (n + 1)! – n! = n² + n⁴.

Решение 1

  Уравнение можно записать в виде  n!((n + 2)(n + 1) – (n + 1) – 1) = n²(n² + 1),  или  n!(n + 2)n = n²(n² + 1).
  Проверка показывает, что  n = 1  не является решением.
  Пусть  n > 1.  Запишем уравнение в виде  (n – 2)!(n + 2)(n – 1) = (n² + 1).  Отсюда  n² + 1 ≥ (n + 2)(n – 1).  Раскрывая скобки, получим  n ≤ 3.  Проверка показывает, что  n = 2  не подходит, а  n = 3  – решение.

Решение 2

  Перепишем уравнение в виде  n! = ^n(n²+1)/_n+2 = n² – 2n + 5 – ¹⁰/_n+2.  Последняя дробь будет целым числом при  n = 3  и  n = 8,  но последнее число решением не является.

Ответ

n = 3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача