|
|
 |
Условие
На плоскости дано несколько прямых (больше одной), никакие две из которых не параллельны.
Докажите, что либо найдётся точка, через которую проходят ровно две из данных прямых, либо все прямые проходят через одну точку.
Подсказка
Рассмотрите некоторую прямую m и точку пересечения двух прямых, отличных от m, лежащую ближе всего к прямой m.
Решение
Пусть не все прямые проходят через одну точку. Рассмотрим множество точек M, в которых пересекаются хотя бы две из данных прямых. Выберем одну из прямых – m. По предположению найдётся точка множества M, не принадлежащая прямой m. Из всех таких точек выберем точку P, лежащую на наименьшем расстоянии от m.
Если через P проходят ровно две данные прямые, то все доказано.
Иначе найдутся три данные прямые PA, PB, PC (точки A, B, C лежат на m), проходящие через точку P. Пусть для определенности точка B лежит между точками A и C. Если через точку B проходят ровно две данные прямые, то все доказано.
Иначе найдётся прямая k, отличная от m и PB, проходящая через точку B. Прямая k должна пересекать одну из сторон PA, PC треугольника ACP в некоторой точке K. Эта точка принадлежит множеству M, но расстояние от неё до m меньше расстояния от P до m. Противоречие.
Замечания
Ср. с задачей 35164.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
