Задача 34980

Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Шарообразная планета окружена 25 точечными астероидами.
Доказать, что в любой момент на поверхности планеты найдётся точка, из которой астроном не сможет наблюдать более 11 астероидов.

Подсказка

Один астероид не может быть одновременно виден из двух диаметрально противоположных точек планеты.

Решение

Проведём плоскость π через центр планеты и два произвольных астероида. Проведём через центр планеты также прямую, перпендикулярную π. Эта прямая пересечёт поверхность планеты в двух полюсах - A, B. Астрономы в точках A и B не могут видеть один и тот же астероид, а также не могут видеть два астероида, лежащие в плоскости π. Следовательно, вместе они наблюдают не более  25 – 2 = 23  астероидов. Значит, один из астрономов видит не более 11 астероидов.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача