|
|
 |
Условие
Из квадратного листа бумаги в клетку, содержащего целое число клеток, вырезали квадрат, содержащий целое число клеток так, что осталось 124 клетки. Сколько клеток мог содержать первоначальный лист бумаги?
Решение
Задача сводится к решению в натуральных числах уравнения x² – y² = 124, которое можно переписать в виде (x – y)(x + y) = 124. Хотя бы один из множителей левой части чётен, поэтому x и y имеют одинаковую четность, значит, оба числа x – y и x + y чётны. Единственный способ разложить число 124 на два чётных сомножителя – это 2·62. Значит сумма чисел x и y равна 62, а разность – 2, откуда x = 32, y = 30.
Ответ
32² = 1024 клетки.
Замечания
1. Источник решения: книга В.О.Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.
2. Ср. с задачей 98336.
