Задача 30840

Темы:    [ Троичная система счисления ] [ Взвешивания ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Условие

Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть на обе чашки весов?

Решение

При решении этой задачи нам понадобится следующее интересное свойство троичной системы счисления:

любое натуральное число можно представить в виде разности двух чисел, запись которых в троичной системе счисления содержит только 0 и 1.

Для доказательства нужно записать исходное число в троичной системе счисления и построить требуемые числа поразрядно справа налево. При этом если у получившихся чисел в каких-то одноименных разрядах стоят единицы, то их можно заменить нулями.

Теперь понятно, что достаточно иметь 5 гирь с весами 1, 3, 9, 27, 81 (подумайте, почему не нужна гиря весом 243 грамма).

Четырех же гирь явно недостаточно, так как с их помощью можно взвесить не более 3⁴ - 1 = 80 различных весов (каждая гиря либо на левой чашке весов, либо на правой, либо не участвует во взвешивании).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	15
Название	Системы счисления
Тема	Системы счисления
задача
Номер	009