Задача 116884

Темы:    [ Биссектриса угла ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Окружность Аполлония ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Автор: Шарыгин И.Ф.

Через вершину А остроугольного треугольника АВС проведены касательная АК к его описанной окружности, а также биссектрисы АN и AM внутреннего и внешнего углов при вершине А (точки М, K и N лежат на прямой ВС). Докажите, что  MK = KN.

Решение

Заметим, что  ∠MAN = 90°,  так как этот угол образован биссектрисами смежных углов (см. рисунок). Обозначим величины углов A и C данного треугольника через α и γ соответственно. Тогда  ∠KAB = ∠ACB = γ  (угол между касательной и хордой),   ∠KNA = ^α/₂ + γ  (внешний угол треугольника ACN). Значит, в треугольнике AKN  ∠KAN = ^α/₂ + γ = ∠KNA,  следовательно,  KA = KN.  Таким образом, AK – медиана прямоугольного треугольника MАN, проведённая к гипотенузе, то есть K – середина MN.

Замечания

Из доказанного утверждения автоматически следует, что точка K является центром окружности Аполлония треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1995/1996
Номер	17
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	4
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4352
олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2012/13
класс
Класс	11
задача
Номер	11.2.2