Задача 116818

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Жуков Г.

Пусть C(n) – количество различных простых делителей числа n. (Например,  C(10) = 2,  C(11) = 1,  C(12) = 2.)
Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел  (a, b),  что  a ≠ b  и  C(a + b) = C(a) + C(b)?

Решение

Например, подходят все пары вида  (2ⁿ, 2ⁿ⁺¹).  Здесь  C(a) = C(b) = 1,  C(a + b) = C(3·2ⁿ) = 2.

Ответ

Бесконечно.

Замечания

1. Подходят также пары  (p, 5p),  где p – простое число, большее 5.

2. Ср. с задачей 116825.

2. 4 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2012/13
Номер	34
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2