ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116559
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все такие числа a, что для любого натурального n число  an(n + 2)(n + 3)(n + 4)  будет целым.


Решение

  Подставив  n = 1,  n = 3  и  n = 4,  получаем, что числа 2²·3·5a, 2·3²·5·7a и 26·3·7a – целые. Значит, a – рациональное число, имеющее несократимую запись p/q, где q является делителем числа  НОД(2²·3·5, 2·3²·5·7, 26·3·7) = 6.  Итак,  a = k/6  при некотором целом k.
  Осталось показать, что все числа такого вида подходят. Действительно, одно из трёх последовательных чисел  n + 2,  n + 3,  n + 4  делится на 3, а одно из последовательных чисел  n + 2,  n + 3  делится на 2; значит,  n(n + 2)(n + 3)(n + 4)  делится на 6. Поэтому
an(n + 2)(n + 3)(n + 4) = ⅙ kn(n + 2)(n + 3)(n + 4)  – целое число.


Ответ

a = k/6,  где k – любое целое число.

Замечания

1. Согласно задаче 61451 многочлен  ax(x + 2)(x + 3)(x + 4)  принимает целые значения не только при всех натуральных, но и при всех
целых x. Подставляя  x = –1,  сразу получаем, что 6a – целое число.

2. Ср. с задачей 116544.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2010-2011
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
Задача
Номер 10.5
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2010-2011
Этап
Вариант 4
класс
Класс 11
Задача
Номер 11.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .