ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116544
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все такие числа a, что для любого натурального n число  an(n + 2)(n + 4)  будет целым.


Решение

  Подставив  n = 1  и  n = 2,  получаем, что числа 15a и 48a – целые. Значит, и число  48a – 3·15a = 3a  – тоже целое. Таким образом,  a = k/3  для некоторого целого k.
  Осталось показать, что все числа такого вида подходят. Действительно, одно из трёх последовательных чётных (или нечётных) чисел
n,  n + 2,  n + 4  делится на 3; значит,  n(n + 2)(n + 4)  делится на 3, а поэтому  an(n + 2)(n + 4) = ⅓ kn(n + 2)(n + 4)  – целое число.


Ответ

a = k/3,  где k – любое целое число.

Замечания

Ср. с задачей 116559.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2010-2011
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
Задача
Номер 9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .