Задача 116448

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Фольклор

Найдите все натуральные решения уравнения   2n – ¹/_n⁵ = 3 – ²/_n.

Решение

  Первый способ.  2n – 3 = ^1–2n4/_n⁵.  При  n = 1  равенство верно, а при любом другом натуральном значении n левая часть последнего равенства положительна, а правая – отрицательна.
  Второй способ.  2(n + ¹/_n) ≥ 4 ≥ 3 + ¹/_n².  Таким образом, равенство возможно только в том случае, когда обе его части равны 4, то есть при  n = 1.

  Третий способ. Запишем уравнение в виде  2n⁶ – 3n⁵ + 2n⁴ = 1.  Левая часть делится на n, поэтому и правая часть делится на n. Следовательно, решением уравнения может являться только  n = 1.

Ответ

n = 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
класс
	1
Класс	9
задача
Номер	9.2.1