|
|
 |
Условие
На клетчатую плоскость положили 2009 одинаковых квадратов, стороны которых идут по сторонам клеток. Затем отметили все клетки, которые покрыты нечётным числом квадратов. Докажите, что отмеченных клеток не меньше, чем клеток в одном квадрате.
Решение
Назовём наши квадраты плитками. Разобьём плоскость на решетку из квадратов размером с плитку линиями, идущими по границам клеток. У каждой клетки теперь есть координаты: номер столбца (считая от левого края квадрата) и номер строки, (считая от нижнего края). Заметим, что все клетки, накрытые плиткой, имеют разные координаты. Выберем любую пару координат, и в каждой накрытой клетке с этими координатами напишем число покрывающих её плиток. Сумма этих чисел равна числу плиток, то есть 2009. Хотя бы одно слагаемое нечётно. Это верно для каждой пары координат, а число пар равно числу клеток в плитке.
Замечания
1. См. также задачу М2164 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2010, №1).2. 10 баллов.
