Задача 116249

Темы:    [ Четырехугольники (прочее) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Радикальная ось ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Лопатников А.А.

Дан такой выпуклый четырехугольник ABCD, что  AB = BC  и  AD = DC.  Точки K, L и M – середины отрезков AB, CD и AC соответственно. Перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой BC, пересекается с перпендикуляром, проведенным из точки C к прямой AD, в точке H. Докажите, что прямые KL и HM перпендикулярны.

Решение 1

  Обозначим основание перпендикуляр, опущенного из точки A на BC, через S, а основание перпендикуляра, опущенного из точки C на AD, – через P (см. рис.).

  Заметим, что точки S и P лежат на окружности с диаметром AC, точки S и M – на окружности с диаметром AB, а точки M и P – на окружности с диаметром CD. Прямая AS является радикальной осью окружностей ASBM и ASCP, а прямая PC – радикальной осью окружностей MCDP и ASCP. Поэтому точка H пересечения этих прямых – радикальный центр трёх указанных окружностей. Следовательно, HM – радикальная ось окружностей ASBM и MCDP и, значит, перпендикулярна их линии центров KL.

Решение 2

  Введём обозначения:     (см. рис.). Заметим, что     (см. решение задачи 35546).   Кроме того,     Осталось проверить, что  (a + b)(c + d) = 0.

  Прямая BD, очевидно, серединный перпендикуляр к отрезку AC. Следовательно, точка M лежит на прямой BD. Поэтому векторы     и     перпендикулярны. Таким образом,  (a – b)(d – c) = 0.
  Кроме того, по условию  ac = bd = 0.  Следовательно,  (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd = – ac + ad + bc – bd = (a – b)(d – c) = 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2013
Номер	76
класс
Класс	11
задача
Номер	3