Задача 116237

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Поворот (прочее) ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что выпуклый n-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол ^360°/_n  вокруг некоторой точки.

Решение

   Правильный n-угольник, очевидно, переходит в себя при повороте на ^360°/_n  вокруг центра описанной окружности.
   Пусть теперь известно, что выпуклый n-угольник переходит в себя при повороте вокруг точки O на угол ^360°/_n.  Эта точка не лежит хотя бы на одной стороне, поэтому эта сторона при последовательных поворотах на ^360°/_n  занимает n различных положений. Значит, она последовательно совпадет со всеми остальными сторонами, то есть все стороны n-угольника равны. Равенство его углов доказывается аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6001