|
|
 |
Условие
В каждой клетке квадратной таблицы написано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна a,
а в каждом столбце сумма двух наибольших чисел равна b. Докажите, что a = b.
Решение 1
Пусть в таблице n строк. Возьмём в каждой строке по два наибольших числа и выпишем эти 2n чисел в порядке возрастания. Ввиду равенства сумм в пары входят первое и последнее, второе и предпоследнее и т.д. Отметим в таблице n + 1 наибольших из выписанных чисел. По принципу Дирихле найдутся два отмеченных числа в одном столбце; их сумму обозначим через s. По условию, s ≤ b. С другой стороны, s не меньше суммы двух наименьших из отмеченных чисел, а это как раз центральная пара из выписанных чисел, и её сумма равна a. Значит, a ≤ s ≤ b. Аналогично доказывается, что b ≤ a.
Решение 2
Пусть a > b. Числа в таблице, не меньшие a/2, назовём большими. В каждом столбце не больше одного большого числа. В каждой строке не меньше одного большого числа. Значит, всего в таблице не больше и не меньше чем n больших чисел, то есть их ровно n, причём в каждой строке и в каждом столбце – ровно по одному. Пусть x – наименьшее большое число. В его строке найдётся число a – x, которое не является большим. В столбце последнего найдётся большое число, оно не меньше x. Мы нашли столбец и два числа в нём, сумма которых не меньше a, то есть больше b. Противоречие.
Замечания
Баллы: 8-9 кл. – 10, 10-11 кл. – 8Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Год | 2011 |
| Номер | 74 |
| класс | |
| Класс | 8 |
| задача | |
| Номер | 6 |
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| Турнир | |
| Дата | 2010/2011 |
| Номер | 32 |
| вариант | |
| Вариант | весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс |
| Задача | |
| Номер | 7 |
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| Турнир | |
| Дата | 2010/2011 |
| Номер | 32 |
| вариант | |
| Вариант | весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс |
| Задача | |
| Номер | 6 |
