|
|
 |
Условие
Дан произвольный треугольник ABC. Постройте прямую, разбивающую его на два многоугольника, у которых равны радиусы описанных окружностей.
Решение
Предположим, что задача решена. Tогда возможны два случая.
1) Искомая прямая BD разбивает данный треугольник на два треугольника (см. рис. а).
Поскольку sin ∠ADB = sin ∠BDC и радиусы окружностей, описанных около треугольников ADB и
BDC, равны, то AB = BC. Tаким образом, такое разбиение возможно только для равнобедренного
треугольника.
2) Искомая прямая ML разбивает данный треугольник на треугольник и четырехугольник (см. рис. а). Поскольку четырехугольник AMLC — вписанный, то ∠MAL = ∠MCL. Tак как радиусы описанных окружностей равны, то ∠ABC = ∠MAL = ∠MCL. Tакая ситуация возможна только если ∠ABC — наименьший угол данного треугольника.
| Рис. а | Рис. б |
Tаким образом, для произвольного треугольника ABC возможно следующее построение: пусть ∠ABC — его наименьший угол (см. рис. а). Проведем лучи AL и CM так, чтобы ∠BAL = ∠BCM = ∠ABC = α. При этом точки M и L лежат на сторонах треугольника. Прямая MK — искомая.
Если треугольник неравнобедренный, то решение — единственное. Если треугольник равнобедренный, то решений бесконечно много.
