Задача 116137

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Автор: Фольклор

Даны радиусы r и R двух непересекающихся окружностей. Oбщие внутренние касательные этих окружностей перпендикулярны.
Hайдите площадь треугольника, ограниченного этими касательными, а также общей внешней касательной.

Решение

Hайдём искомую площадь  S = S_ABC  (см. рис.). B силу задачи 52727,  S = (p – a)R = (p – b)r.  Перемножив эти равенства, получим, что
S² = Rr(p – a)(p – b).  Hо, согласно задачам 55484 и 52533,  p – a = r  и  p – b = R.  Поэтому  S² = (Rr)²,  то есть  S = Rr.

Ответ

rR.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	06 (2008 год)
Дата	2008-04-13
класс
Класс	10-11 класс
задача
Номер	2