ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116086
Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки касания вписанной окружности со стороной BC на прямую AC, проходит через центр вписанной окружности треугольника A1CB1.


Решение

Пусть K и M – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами AC и BC соответственно, I – центр вписанной окружности, O – точка пересечения перпендикуляра ML и прямой IC (см. рис.). Докажем, что O – центр вписанной окружности треугольника A1B1C. Для этого достаточно доказать, что длина отрезка OL равна радиусу этой окружности. Из подобия прямоугольных треугольников COL и CIK следует, что  OL : IK = CL : CK.  Поскольку  CK = CM  и  CL/CM = cos∠C,  то  OL = IK cos∠C.  Теперь все следует из того, что треугольники A1B1C и ABC подобны с коэффициентом cos∠C.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 07 (2009 год)
Дата 2009-04-12
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .