|
|
 |
Условие
На рисунке изображен параллелограмм и отмечена точка P пересечения его диагоналей. Проведите через P прямую так, чтобы она разбила параллелограмм на две части, из которых можно сложить ромб.
Решение
Пусть ABCD – данный параллелограмм,
P – точка пересечения его диагоналей.
Отметим на сторонах BC и AD точки X и Y так, как показано на рисунке,
Z – основание
перпендикуляра, опущенного из точки X на прямую AD. Применив для треугольника XYZ теорему
Пифагора, получим, что . Тогда из четырехугольников ABXY
и YXCD можно сложить ромб A1B1XY.
Отметим, что такая прямая существует для любого параллелограмма. Действительно, пусть в параллелограмме ABCD AB < BC и ∠ABC – не острый (см. рис. ниже). Тогда существует отрезок XY с концами на сторонах BC и AD, равный BC. Для того, чтобы его построить, достаточно провести окружность с радиусом, равным 1/2BC, и центром в точке P. Она пересечет отрезок BC хотя бы в одной точке, поскольку расстояние от точки P до прямой BC не больше, чем 1/2 AB, т. е. не больше, чем 1/2BC, а PC > 1/2BC.
