|
|
 |
Условие
Банкомат обменивает монеты: дублоны на пистоли и наоборот. Пистоль стоит s дублонов, а дублон – 1/s пистолей, где s не обязательно целое. В банкомат можно вбросить любое число монет одного вида, после чего он выдаст в обмен монеты другого вида, округляя результат до ближайшего целого числа (если ближайших чисел два, выбирается большее).
а) Может ли так быть, что обменяв сколько-то дублонов на пистоли, а затем обменяв полученные пистоли на дублоны, мы получим больше дублонов, чем было вначале?
б) Если да, то может ли случиться, что полученное число дублонов ещё увеличится, если проделать с ними такую же операцию?
Решение
а) Пусть, например, s = 3. Обменяв 5 дублонов, получим 2 пистоля, а обменяв пистоли, получим 6 дублонов.
б) Пусть s < 1. Обменяв n дублонов, мы получим ns–1 + ε пистолей, где |ε| ≤ ½. Это равно n + εs < n + ½ дублонов, поэтому больше n дублонов мы не получим уже при первой паре обменов.
Пусть s > 1 и после первого обмена мы получим n пистолей. Как показано выше, за два обмена мы получим не более n пистолей, следовательно, и число дублонов после четвёртого обмена не больше, чем после второго.
Ответ
a) Может; б) не может.
Замечания
баллы: 2 + 3
