|
|
 |
Условие
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Известно, что четыре окружности, каждая из которых касается его диагоналей и описанной окружности изнутри, равны. Верно ли, что ABCD – квадрат?
Решение 1
Пусть P – точка пересечения диагоналей, а окружности,
вписанные в криволинейные треугольники ABP, BCP, CDP, DAP, касаются описанной окружности четырёхугольника ABCD в точках K, L, M, N.
Рассмотрим сегмент ABC. Когда точка X движется по дуге ABC от A к C, радиус окружности, вписанной в сегмент и касающейся дуги в точке X, возрастает, пока X не достигнет середины дуги, и убывает после этого. Следовательно, равным радиусам соответствуют симметричные относительно середины дуги положения X.
Таким образом, ⌣AK = ⌣LC. Аналогично ⌣AN = ⌣MC. Значит, ⌣NK = ⌣LM, и ⌣KL = ⌣MN. Поэтому ⌣NL = ⌣NK + ⌣KL = 180°, то есть
NL – диаметр окружности. Аналогично, KM тоже является
диаметром.
Симметрия относительно центра O описанной окружности переводит
пару окружностей, касающихся её в точках M и N, в пару
окружностей, касающихся в точках K и L. Следовательно, общая
внешняя касательная первой пары AC перейдёт в CA. Поэтому
AC и аналогично BD – диаметры окружности, то есть ABCD – прямоугольник. Его диагонали делят описанную окружность на четыре сектора, и радиусы окружностей, вписанных в эти секторы, равны.
Значит, равны и сами секторы, то есть ABCD – квадрат.
Решение 2
Применяя теорему Тебо (см. задачу 56705) к треугольникам ABC, BCD, CDA, DAB и точке пересечения диагоналей, получаем, что радиусы вписанных окружностей всех четырёх треугольников равны. Вычислив площадь каждого из этих треугольников как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности, и приравняв суммы площадей двух пар треугольников, получим, что AC = BD, то есть ABCD – равнобедренная трапеция или прямоугольник. Предположим, что AD, BC – ее основания и AD > BC. Тогда SABD : SABC = AD : BC > (AD + BD + AB) : (BC + AB + AC), и радиусы вписанных окружностей этих треугольников не могут быть равными. Следовательно, ABCD – прямоугольник. Аналогично предыдущему решению получаем, что ABCD – квадрат.
Ответ
Верно.
