ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115870
Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC площади 1. Из вершины B опущен перпендикуляр BM на биссектрису угла C. Найдите площадь треугольника AMC.


Решение

Первый способ. Проведём через точку B прямую, параллельную AC до пересечения с биссектрисой угла C в точке N (см. рис.). Так как
BNC = ∠ACN = ∠BCN,  то треугольник BCN – равнобедренный и BM – его медиана. Следовательно,  SAMC = ½ SANC = ½ SABC = ½.

Второй способ. Так как  SAMC = ½ AC·CM sin C/2  и  CM = BC cos C/2,  то  SAMC = ¼ AC·BC sin∠C = ½ SABC = ½.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2009
Тур
задача
Номер 14

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .