ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115372
Темы:    [ Простые числа и их свойства ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Шарич В.

Для каждого натурального n обозначим через Sn сумму первых n простых чисел:  S1 = 2,  S2 = 2 + 3 = 5,  S3 = 2 + 3 + 5 = 10,  ... .
Могут ли два подряд идущих члена последовательности (Sn) оказаться квадратами натуральных чисел?


Решение

  Обозначим n-е простое число через pn. Предположим, что нашлось  m > 1,  для которого  Sm–1 = k²,  Sm = n²,  где k и n – натуральные числа. Числа
S2 = 5,  S3 = 10  квадратами не являются, так что  m > 4.  Заметим, что  pm = Sm – Sm–1 = (n – k)(n + k);  ввиду простоты pm получаем  1 = n – k   Таким образом,  
  Заметим, что pm нечётно (так как  m > 2),  и  
  С другой стороны, в сумму  Sm = 2 + p² + ... + pm,  кроме двойки, входят лишь нечётные числа, и при  m > 4  не входят нечётное составное число 9 и число 1, поэтому     Противоречие.


Ответ

Не могут.

Замечания

В последовательности (Sn) встречаются квадраты натуральных чисел. Кроме  S9 = 100,  известны еще несколько; минимальный из них – это
S2474 = 25633969 = 5063².

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2009-2010
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 06.4.9.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .