ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111920
Темы:    [ Средние величины ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
[ Процессы и операции ]
[ Инварианты ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Шанин И.А.

На кольцо свободно нанизано 2009 бусинок. За один ход любую бусинку можно передвинуть так, чтобы она оказалась ровно посередине между двумя соседними. Существуют ли такие изначальная расстановка бусинок и последовательность ходов, при которых какая-то бусинка пройдёт хотя бы один полный круг?


Решение

  Пусть при каком-то начальном расположении бусинок нашлась последовательность ходов, в результате которой какая-то бусинка прошла полный круг против часовой стрелки или больше. Обозначим начальное положение этой бусинки O. Тогда положения бусинок определяются углом от точки O с точностью до 2π, причём углы по часовой стрелке будем считать со знаком минус, а углы против часовой стрелки со знаком плюс. Занумеруем бусинки по порядку. Обозначим через αi угол до i-й бусинки. Тогда вначале  – 2π < α1 < α2 < ... < α2009 = 0  (см. рис.).

  Заметим, что перемещению i-й бусинки соответствует замена αi на  ½ (αi–1 + αi+1)  при  i = 2, ..., 2008,  на  ½ (α2 + α2009 – 2π)  при  i = 1,  на
½ (α1 + α2008 + 2π)  при  i = 2009.  То, что бусинка O прошла полный круг или более, означает, что угол α2009 стал не меньше 2π. Но вначале
αi < i/2009,  и при вышеуказанных преобразованиях это свойство сохраняется. Значит, α2009 всегда меньше 2π. Противоречие.


Ответ

Не существуют.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 72
Год 2009
Класс
Класс 10
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .