|
|
 |
Условие
Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение P(m) + P(n) = 0 имеет бесконечно много решений в целых числах m и n.
Докажите, что у графика y = P(x) есть центр симметрии.
Решение
Рассмотрим многочлен Pa(x) = P(a + x) + P(a – x). Знак коэффициента этого многочлена при xk совпадает со знаком k-й производной функции Pa при x = 0. При чётном k эта производная равна 2P(k)(a), а при нечётном – нулю. В свою очередь знак P(k)(a) при больших a совпадает со знаком старшего коэффициента многочлена P.
Итак, при достаточно большом по модулю a все коэффициенты многочлена Pa при нечётных степенях равны нулю, а при чётных – одного знака. Следовательно, корней он не имеет.
Если P(m) + P(n) = 0, то число x = ½ (m – n) является корнем многочлена Pa, где a = ½ (m + n). Это значит, что сумма m + n = 2a ограничена по модулю. Поэтому одно из значений 2a этой суммы встречается бесконечно много раз.
Таким образом, соответствующий многочлен Pa имеет бесконечно много корней, то есть он тождественно равен нулю.
Но равенство P(– x + a) ≡ – P(x + a) и означает, что график многочлена P симметричен относительно точки (a, 0).
Замечания
1. 9 баллов.
2. Обсуждение задачи см. в решениях Задачника "Кванта", задача М2120.
