ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111686
Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны положительные числа  a1, a2, ..., an.  Известно, что  a1 + a2 + ... + an ≤ ½.  Докажите, что  (1 + a1)(1 + a2)...(1 + an) < 2.


Решение 1

  Раскрыв в левой части скобки, получим сумму  1 + (a1 + ... + an) + (a1a2 + ... + an–1an) + (a1a2a3 + ... + an–2an–1an) + ... + a1a2...an.  Сумма чисел во второй скобке не превосходит  (a1 + ... + an)²,  сумма в третьей скобке не превосходит  (a1 + ... + an)³,  и так далее. Значит, всё произведение не превосходит  1 + ½ + ¼ + ⅛ + ... + 1/2n = 2 – 1/2n < 2.


Решение 2

  Индукцией по k докажем, что для всех k от 1 до n  (1 + a1)...(1 + ak) < 1 + 2(a1 + ... + ak).
  База:  1 + a1 < 1 + 2a1.
  Шаг индукции. Пусть  (1 + a1)...(1 + ak) < 1 + 2(a1 + ... + ak).  Тогда
(1 + a1)...(1 + ak)(1 + ak+1) < (1 + 2(a1 + ... + ak))(1 + ak+1) ≤ 1 + 2(a1 + ... + ak) + ak+1(1 + 2·½) = 1 + 2(a1 + ... + ak + ak+1).

Замечания

1. Для знатоков. Можно доказать, что при фиксированной сумме  a1 + a2 + ... + an  выражение  (1 + a1)...(1 + an)  максимально при  a1 = ... = an.  Следовательно,  

2. 8 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2008/2009
Номер 30
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .