ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111415
Темы:    [ Отношение объемов ]
[ Ряды Фурье ]
[ Правильная пирамида ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен V . Высота SP пирамиды является ребром правильного тетраэдра SPQR , плоскость грани PQR которого перпендикулярна ребру SC . Найдите объём общей части этих пирамид.

Решение

Обозначим AB = a , SCP = α . Пусть плоскость, проходящая через прямую BD перпендикулярно ребру SC пирамиды SABCD , пересекает это ребро в точке H (рис.1). Высота SP пирамиды SABCD является ребром правильного тетраэдра SPQR , а высота тетраэдра лежит на прямой SC . Поэтому плоскость грани PQR тетраэдра проходит через точку P перпендикулярно SC , а значит, совпадает с плоскостью BDH . Следовательно, SH – высота правильного тетраэдра SPQR . Отрезок PH – высота прямоугольного треугольника SPC , проведённая из вершины прямого угла, поэтому SPH = SCP = α , а т.к. SPH – угол между ребром SP правильного тетраэдра и гранью PQR , то

cos α = cos SPH = , sin α = = , tg α = .

Из прямоугольного треугольника SPC находим, что
SP = CP tg α = · = a,

т.е. ребро правильного тетраэдра SPQR равно a , а т.к. H – центр равностороннего треугольника PQR , то PH = . Рассмотрим сечение пирамиды и тетраэдра плоскостью BDH . Получим равнобедренный треугольник BDH с основанием BD=a и высотой HP = , и равносторонний треугольник PQR . Обозначим BHP = γ . Тогда
tg γ = = = , cos γ = = =, sin γ = .

Пусть E и F – точки пересечения прямых PQ и PR с отрезками BH и DH соответствено. Поскольку PH – биссектриса угла QPR (рис.2), треугольники HEP и HFP равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, значит, HF=HE . По теореме синусов
= , = ,

откуда
HE = = = = .

Кроме того,
sin PEH = sin γ = > = sin 30o = sin HPE,

поэтому
PE < HE = < a=PQ.

Значит, точка E лежит на отрезке PQ . Следовательно, общая часть пирамиды SABCD и тетраэдра SPQR – четырёхугольная пирамида SPEHF с вершиной S . Пусть V1 – объём этой пирамиды. Тогда
= SSPEHF· SH = · 2SΔ HEP· SH = · 2· HP· HE sin γ · SH =


=· · · · a = .

Поскольку объём пирамиды SABCD равен V , то
V = SSABCD· SP = a2· a = a3,

откуда a3 = 3V . Следовательно,
V1 =a3· = 3 = = V.


Ответ

V .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 9002

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .