ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110795
Темы:    [ Теорема о группировке масс ]
[ Гомотетичные многоугольники ]
[ Теорема синусов ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Авторы: Ганин Я., Rideau F.

Дан выпуклый четырехугольник ABCD . A' , B' , C' , D' – ортоцентры треугольников BCD , CDA , DAB , ABC . Докажите, что в четырехугольниках ABCD и A'B'C'D' соответствующие диагонали делятся точками пересечения в одном и том же отношении.

Решение

Используем следующее утверждение. Пусть KLMN – выпуклый четырехугольник; точки X , Y делят отрезки KL и NM в отношении α ; точки U , V делят в отрезки LM и KN в отношении β . Тогда точка пересечения отрезков XY и UV делит первый из них в отношении β , а второй в отношении α (рис.9.6)


Доказательство этого утверждения легко получить методом масс. Пусть теперь A1 , B1 , C1 , D1 – центры тяжести треугольников BCD , CDA , DAB , ABC ; A2 , B2 , C2 , D2 – центры описанных около них окружностей. Четырехугольник A1B1C1D1 гомотетичен четырехугольнику ABCD относительно его центра тяжести с коэффициентом - . Следовательно, соответствующие диагонали этих четырехугольников делятся точками пересечения в одинаковых отношениях. Докажем, что в тех же отношениях делят друг друга диагонали четырехугольника A2B2C2D2 . Пусть P – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD . Тогда
== .

Поскольку стороны и диагонали четырехугольника A2B2C2D2 перпендикулярны сторонам и диагоналям четырехугольника ABCD (например, точки A2 , B2 лежат на серединном перпендикуляре к CD ), в таком же отношении делится и диагональ A2C2 . Пусть теперь P1 , P2 – точки пересечения диагоналей четырехугольников A1B1C1D1 , A2B2C2D2 ; P' – точка на отрезке A'C' , делящая его в отношении A2P2/P2C2 . Так как точки A1 , C1 лежат на отрезках A'A2 , C'C2 и делят их в отношении 2:1 , из сформулированного утверждения вытекает, что точка P1 также делит отрезок P'P2 в отношении 2:1 . Рассмотрев аналогичную точку на отрезке B'D' , получим тот же результат. Отсюда следует, что P' – точка пересечения диагоналей четырехугольника A'B'C'D' , причем диагонали делятся этой точкой в том же отношении, что и в четырехугольниках A1B1C1D1 , A2B2C2D2 и ABCD .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2006
Класс
Класс 9
задача
Номер 96

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .