Задача 110790

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Протасов В.Ю.

Дана окружность радиуса R. Две другие окружности, сумма радиусов которых также равна R, касаются её изнутри.
Докажите, что прямая, соединяющая точки касания, проходит через одну из общих точек этих окружностей.

Решение

Пусть O – центр внешней окружности, O₁, O₂ – центры внутренних, A, B – точки касания. Проведём через O₁ прямую, параллельную OB, а через O₂ – прямую, параллельную OA. Поскольку  O₁O = O₂B  и  O₂O = O₁A,  то теореме Фалеса эти прямые пересекутся в точке C, лежащей на отрезке AB. При этом  O₁C = O₁A  и  O₂C = O₂B,  так что точка C принадлежит обеим внутренним окружностям (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2006
Класс
Класс	9
задача
Номер	91