Задача 110781

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 5+ Классы: 10

Условие

Автор: Заславский А.А.

Прямые, содержащие медианы треугольника ABC, вторично пересекают его описанную окружность в точках A₁, B₁, C₁. Прямые, проходящие через A, B, C и параллельные противоположным сторонам, пересекают ее же в точках A₂, B₂, C₂. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ пересекаются в одной точке.

Решение

Автор: Илюхина М.

  Пусть A' – точка пересечения касательных к описанной окружности Ω в точках B и C (аналогично построим точки B' и C'). Тогда, как известно, прямая AA' является симедианой треугольника ABC (см. задачу 56983). Пусть прямая AA' вторично пересекает Ω в точке A₀. Тогда  ∠A₁AB = ∠A₀AC, то есть дуги BA₁ и CA₀ равны. Так как треугольник A'BC равнобедренный, то эти дуги симметричны относительно биссектрисы l угла BA'C. Значит, при этой симметрии точки A₁ и A₀ переходят друг в друга.
  Поскольку l – серединный перпендикуляр к BC, то A при этой симметрии переходит в A₂ (см. рис.), а, следовательно, прямая A₁A₂ переходит в прямую AA'. Поэтому, так как прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке L (см. задачу 56924), то прямые A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ также пересекаются в точке, изогонально сопряженной L относительно треугольника A'B'C'.
  Случай, когда одной из точек A', B', C' не существует, аналогичен.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2006
Класс
Класс	10
задача
Номер	104