ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110218
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Козлов П.

Число N, не делящееся на 81, представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, делящихся на 3.
Докажите, что оно также представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, не делящихся на 3.


Решение

Пусть  N = 9a² + 9b² + 9c².  Если числа a, b, c делятся на 3, то N делится на 81, что неверно. Пусть для определенности a не делится на 3. Можно считать, что  a + b + c  не кратно 3 (иначе заменим a на –a). Тогда

N = (4a² + 4b² + c²) + (4b² + 4c² + a²) + (4c² + 4a² + b²) = (2a + 2b – c)² + (2a + 2c – b)² + (2b + 2c – a)².
При этом каждое из чисел  2a + 2b – c,  2b + 2c – a,  2c + 2a – b  сравнимо по модулю 3 с числом  2(a + b + c),  не кратным 3. Требуемое представление получено.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2006
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 06.4.9.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .