Задача 110209

Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Доказательство от противного ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Бадзян А.И.

Даны  n > 1  приведённых квадратных трёхчленов  x² – a₁x + b₁,  ...,  x² – a_nx + b_n,  причём все 2n чисел  a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n  различны.
Может ли случиться, что каждое из чисел  a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n  является корнем одного из этих трёхчленов?

Решение

Предположим, что это так. Поскольку все 2n коэффициентов различны, то они и составляют всё множество корней наших трёхчленов, причём у каждого из них два корня. Пусть x_i, y_i – корни трёхчлена  x² – a_ix + b_i.  Тогда   a_i = x_i + y_i,  b_i = x_iy_i  и
  Следовательно,     Далее,
  Поэтому  
Значит,     то есть все коэффициенты b_i равны нулю. Это противоречит тому, что они различны.

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	06.4.10.4