ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110082
Темы:    [ Деление с остатком ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Замков В.

Натуральное число n назовём хорошим, если каждое из чисел n,   n + 1,  n + 2  и  n + 3  делится на сумму своих цифр. (Например,  n = 60398  – хорошее.)
Обязательно ли предпоследней цифрой хорошего числа, оканчивающегося восьмеркой, будет девятка?


Решение

Допустим, что нашлось хорошее число  n = a1...ak8,  где  a1, ..., ak – цифры, причём  ak ≠ 9.  Тогда  n + 1 = a1...ak9n + 3 = a1...ak–1bk1,  где  bk = ak + 1.  Числа  n + 1  и  n + 3  нечётны, а суммы их цифр равны  a1 + a2 + ... + ak + 9  и  a1 + a2 + ... + ak + 2  соответственно. Эти суммы отличаются на 7, и потому одна из них чётна. Но чётное число не может быть делителем нечётного. Противоречие.


Ответ

Обязательно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2001
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 01.4.8.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .