Задача 109961

Темы:    [ Системы точек ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Взаимное расположение двух окружностей ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Дольников В.Л.

На плоскости дано множество из n9 точек. Для любых 9 его точек можно выбрать две окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных окружностях. Докажите, что все n точек лежат на двух окружностях.

Решение

Так как любые 9 точек лежат на двух окружностях, то найдется окружность O , на которой лежит не менее 5 точек. Рассмотрим все точки множества, не лежащие на O . Если таких точек четыре или меньше, то утверждение задачи верно. Действительно, дополнив их точками окружности O до девяти, получим, что они лежат на двух окружностях, на одной из которых лежат три дополняющих точки, поэтому это O . Значит, все наши точки лежат на другой окружности.

Пусть вне окружности O лежит не менее пяти точек.
Возьмем пять точек A₁ , A₅ на O и три точки B₁ , B₂ , B₃ вне O . Через точки B₁ , B₂ , B₃ проходит единственная окружность O₁ . Возьмем точку B , отличную от точек A₁ , A₅ , B₁ , B₂ , B₃ . По условию существуют две окружности O' и O'₁ , содержащие все точки A₁ , A₂ , A₅ , B₁ , B₂ , B₃ , B .
Тогда опять одна из окружностей O' и O'₁ совпадает с O .
Поскольку точки B₁ , B₂ , B₃ не лежат на окружности O , все они оказываются на той из окружностей O' или O'₁ , которая не совпадает с O , и эта вторая окружность тем самым совпадает с O₁ . Получается, что точка B лежит либо на O , либо на O₁ , что завершает доказательство.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1998
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	8
задача
Номер	98.4.8.4