Задача 109905

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Кохась М.

Незнайка написал на доске несколько различных натуральных чисел и поделил (в уме) сумму этих чисел на их произведение. После этого Незнайка стёр самое маленькое число и поделил (опять в уме) сумму оставшихся чисел на их произведение. Второй результат оказался в 3 раза больше первого. Какое число Незнайка стёр?

Решение

Пусть a – стёртое число, S – сумма оставшихся, P – произведение оставшихся. Тогда  3·^a+S/_p = ^S/_p  ⇔   ⅓ = ¹/_a + ¹/_S.  Так как  a < S,  то  ¹/_a > ⅙,  то есть  a = 4  или  a = 5.  Случай  a = 5  невозможен, так как при этом  S = 7,5.  Случай  a = 4  возможен:  S = 12,  и написанными Незнайкой числами могли быть 4, 5 и 7.

Ответ

4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1996
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	8
задача
Номер	96.4.8.7