ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109655
Темы:    [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Боковая поверхность параллелепипеда ]
[ Четность и нечетность ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Симметрия и инволютивные преобразования ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием a×b и высотой c (a, b и c – натуральные числа) оклеена по клеточкам без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными рёбрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из чётного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если c нечётно, то число способов оклейки чётно.


Решение

  Для удобства вместо боковой поверхности параллелепипеда a×b×c рассмотрим боковую поверхность цилиндра высоты c и длиной окружности основания  2(a + b),  разбитую на единичные "квадраты" линиями, параллельными окружностям оснований и образующими.
  Проведём плоскость через ось симметрии цилиндра и через центры единичных квадратов в каком-нибудь столбце S ширины 1 и высоты c на поверхности цилиндра. Докажем, что никакая оклейка прямоугольниками, состоящими из чётного числа единичных квадратов, удовлетворяющая условию, не симметрична относительно этой плоскости. Действительно, в противном случае столбец S оказался бы покрыт прямоугольниками нечётной ширины. Площадь (а, значит, и высота) каждого из этих прямоугольников чётна, что противоречит нечётности высоты столбца S.
  Итак, все способы оклейки можно разбить на пары переходящих друг в друга оклеек (при симметрии относительно указанной плоскости), значит, их число чётно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1997
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 97.5.9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .